De God van Isaac Newton blijkt een klungelige horlogemaker

Wie geïnteresseerd is in de inzichten van de hemelbewegingen”, schreef de Franse wiskundige Henri Poincaré in 1897, “moet zich wel verbazen als hij ziet hoe vaak bewezen is dat het zonnestelsel stabiel is. Waren die oude bewijzen onvoldoende, of zijn die nieuwe nergens voor nodig?” Geen van beide, liet Poincaré zien. Hij bewees dat het zonnestelsel chaotisch is. Onvoorspelbaar. Maar alleen in wiskundige zin, voegde hij eraan toe. Andere, grotere krachten hielden volgens hem de planeten aan hun orde.

Ook dat is niet waar, betoogde Jacques Laskar deze week in Amsterdam. Tijdens een lezing voor de Koninklijke Akademie van Wetenschappen (KNAW) liet de astronoom, verbonden aan de Parijse sterrenwacht, zien dat het wiskundige bewijs van Poincaré wel degelijk praktische betekenis heeft. “Het zonnestelsel is niet stabiel. We kunnen niet verder dan zestig miljoen jaar vooruitkijken. Daarna zijn botsingen tussen planeten niet uitgesloten.”

Ooit waren die hemelbewegingen een toonbeeld van harmonie. Copernicus had de zon in het midden geplaatst, waarna Isaac Newton in ‘Principia’, zijn hoofdwerk, had aangetoond dat de planeten er volgens eenvoudige wetten omheen draaiden. Als een hemels uurwerk. Nergens anders ter wereld is dat zo mooi in beeld gebracht als in Franeker, in het planetarium van Eise Eisinga, waar de planeten inderdaad hun rondjes draaien, aangedreven door een uurwerk.

Niet goed

Maar Newton zag al meteen dat het niet helemaal goed was. Zijn wetten beschreven perfect hoe de zon en een planeet elkaar aantrekken en hoe dat resulteert in een ellipsbaan van die laatste om de eerste. Maar in een stelsel met twee planeten ging het al mis. Dan kon je uit de vergelijkingen geen oplossingen meer afleiden. In de tijd van Newton telde het zonnestelsel zes planeten.

In een later boek – ‘Opticks’, over licht – kwam hij op dit zogeheten drielichamenprobleem terug. Door de onderlinge krachten tussen planeten treden onregelmatigheden op, schreef hij, en de enige oplossing die hij zag, was dat de Schepper zo nu en dan terugkeerde om met hulp van een komeet de orde te herstellen. Zijn grote rivaal uit die tijd, de Duitse wiskundige Gottfried Leibniz, verbaasde zich over deze noodgreep. “Wat een vreemd idee heeft de heer Newton over de Schepper”, schreef Leibniz aan zijn leerling, prinses Caroline van Wales. “Dit is geen eeuwigdurende beweging, maar een imperfecte machine. Die God van Newton is een klungelige horlogemaker.”

Niettemin, die onregelmatigheden waren er wel degelijk. Saturnus bewoog zich langzaam van de zon af, terwijl Jupiter juist de andere kant opschoof. De astronoom Edmond Halley (die van de komeet) had een tabel opgesteld met correctiefactoren voor de banen van de twee planeten. Daar viel mee te werken, maar het zat de wetenschappelijke gemeenschap niet lekker.

Prijsvraag

Halverwege de achttiende eeuw, twintig jaar na Newtons dood, loofde de Parijse Akademie van Wetenschap een prijs uit voor degene die een oplossing bedacht voor de onregelmatigheden. En een antwoord op de vraag: is het zonnestelsel stabiel? “Zoals we nu beurzen hebben voor onderzoek”, vertelde Laskar, “zo loofde men toen prijzen uit om een probleem op te lossen. De knapste knoppen stortten zich erop.” En de allergrootste uit die tijd, de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, won. Laskar: “Hij won zelfs twee keer, in 1748 en 1752. Wat merkwaardig is. Kennelijk was zijn oplossing uit 1748 niet goed.”

Maar die van 1752 ook niet, ook al introduceerde Euler belangrijke vernieuwingen voor dit soort rekenwerk, de storingsrekening. Diverse andere grootheden beten hun tanden stuk op het probleem, totdat Pierre-Simon Laplace eind achttiende eeuw liet zien dat er helemaal geen probleem was. Alle waargenomen onregelmatigheden kon de Fransman met Newtons wetten verklaren. Hij had geen storingstermen nodig en het zonnestelsel was stabiel.

Laplace formuleerde het zo: “Een intelligente geest die op elk gegeven ogenblik al de krachten zou kennen die de natuur doen leven en de onderlinge posities van de dingen waaruit deze bestaat, als deze intelligente geest groot zou zijn (...) zou voor hem niets onzeker zijn en zowel de toekomst als het verleden zou hem voor ogen staan.”

Hij legde hiermee de basis voor een deterministisch wereldbeeld, een beeld van de kosmos als één ingewikkeld uurwerk, dat niet alleen tot uiting komt in het Planetarium van Eise Einsinga, maar ook het huidige denken nog beïnvloedt. Laplace was in die tijd hofastronoom van Napoleon en de gelovige keizer miste een goddelijke invloed. “Sire”, luidt het beroemde antwoord dat sterrenkundige zou hebben gegeven, “die hypothese heb ik niet nodig.”

Dat laat onverlet dat er nog steeds geen oplossing was voor het drielichamenprobleem – een zon en twee planeten. Opnieuw moest er een prijsvraag aan te pas komen, ditmaal in 1887 uitgeschreven door koning Oscar II van Zweden. Nu was eerder genoemde Poincaré de winnaar. Hij had het probleem alleen niet opgelost, hij liet zien dat het veel ingewikkelder was dan gedacht. “De oplossing is zo complex”, schreef Poincaré, “dat ik niet eens een poging waag om het in een tekening weer te geven.”

Biljartbal

Hij had laten zien dat een mogelijke oplossing van het probleem zeer gevoelig was voor de beginvoorwaarden. Voor de meeste vraagstukken uit de mechanica maakt het niet zo uit wat de beginposities zijn. Als een biljartbal een klein beetje wordt verplaatst, pakt ook de botsing met een andere bal niet veel anders uit. Maar in het drielichamenprobleem kan zo’n klein verschil grote gevolgen hebben.

Poincaré legde hiermee de basis voor de chaostheorie, die nu vooral bekend is uit de meteorologie. Ook in weermodellen kunnen kleine verschillen in de beginpositie enorm uitvergroten. Het beroemde vlindereffect: een vlinder die in Brazilië met zijn vleugels fladdert, kan maanden later in Texas een tornado veroorzaken. Daarom kijkt het KNMI in zijn verwachtingen niet verder dan twee weken vooruit.

Door datzelfde effect is het in een zonnestelsel onvoorspelbaar waar de planeten zich na verloop van tijd zullen bevinden. Maar zoals gezegd, de wiskunde bracht Poincaré niet van zijn geloof dat het zonnestelsel stabiel moest zijn. Andere krachten, zoals de getijdenkrachten, waren volgens hem zo groot dat de onvoorspelbaarheid van het zonnestelsel binnen bepaalde grenzen bleef.

In 1954 leverden wiskundigen het bewijs dat Poincaré gelijk had. Een bewijs dat in 1962 nogmaals werd geleverd: als de massa’s van de planeten maar klein genoeg waren ten opzichte van de massa van de zon – wat immers zo was – dan bleven de onregelmatigheden binnen de perken. Een jaar later werd dit bewijs alsnog onderuit gehaald. Het klopt wel, liet Michel Hénon zien, maar alleen als dat ‘klein genoeg’ betekende dat planeten lichter waren dan een atoom.

Maar ook het bewijs van Hénon deed het geloof in een stabiel zonnestelsel niet wankelen, vertelde Laskar dinsdagavond. “In 1988 was er nog een astronomencongres over het zonnestelsel. In het verslag valt te lezen dat het stelsel ‘vermoedelijk stabiel is’. In ieder geval als je het over zijn levensduur zou bekijken.”

Nauwkeurigheid

Laskar besefte toen al dat de enige uitweg uit dit probleem een numerieke oplossing was. Laat een computer oplossingen genereren die de werkelijkheid zo dicht mogelijk benaderen, en onderzoek hoe gevoelig die oplossingen zijn voor kleine variaties in de beginvoorwaarden.

Destijds waren computers nog niet krachtig genoeg, maar tien jaar geleden lukte het hem voor het eerst wel. “Uit die berekeningen bleek dat het zonnestelsel chaotisch is. En dat je elke tien miljoen jaar een decimaal aan nauwkeurigheid verliest. Als je in het begin op tien meter nauwkeurig weet waar een planeet zich bevindt, en je laat je model tien miljoen jaar vooruit rekenen, dan is de nauwkeurigheid honderd meter. Na twintig miljoen jaar is de range duizend meter. Na zestig miljoen jaar heb je geen idee meer waar de planeet zich zou kunnen bevinden.”

Wil je er toch iets over kunnen zeggen, betoogde Laskar, dan moet je er statistiek op loslaten. Net zoals het KNMI zijn zogeheten weerpluimen genereert. De meteorologen leggen de huidige toestand van de atmosfeer vast – temperatuur, luchtdruk, luchtvochtigheid – en laten hun computers bijvoorbeeld vijftig keer veertien dagen vooruit rekenen, waarbij ze bij elke run de beginvoorwaarden iets veranderd hebben. Dat geeft niet alleen een weersverwachting, de variatie in de runs zegt ook iets over de betrouwbaarheid ervan.

Op vergelijkbare wijze liet Laskar zijn computer 2500 runs maken die allemaal een paar miljard jaar vooruitblikten. Daarbij lette hij niet op de positie van de planeten maar op de vorm van hun banen. Soms is dat bijna een cirkel, dan weer een langgerekte ellips. Zo langgerekt soms dat hij de baan van een andere planeet kruist. Laskar: Na één miljard jaar was de baan van Mercurius soms zo excentrisch dat een botsing met Venus mogelijk werd. Na drie miljard jaar zag de computer al tientallen botsingen. Veelal tussen een planeet en de zon, maar ook onderling. Er zaten ook botsingen tussen van de aarde met Mars en Venus. Dus is ons zonnestelsel stabiel? Nee.”

Lees ook:

Waarom de mens overal patronen in zoekt

Hoogleraar Rens Bod publiceerde een indrukwekkend boek, een geschiedenis van de kennis die de mens heeft opgedaan sinds hij voet op aarde zette. Nergens heeft de mens zo hard naar patronen gezocht als aan het firmament.